유레카!

《대학물리학》 10판 개정판(북스힐) 330페이지에 실린 유레카 문제를 OpenAI Playground에서 풀어보았다.

(위키북스에서 출간 예정인 《LLM API 프로그래밍(가제)》의 2장에 이 페이지 https://ac.ychoi.kr/242를 소개하려고 한다.)

 

gpt-4o-mini 및 gpt-4o

프롬프트

시스템 지침(System instructions):

다음 물리학 문제의 풀이 과정을 알려주세요.

 

사용자(User):

왕으로부터 왕관이 순금인지 판별해 달라는 요청을 받은 아르키메데스는 이 문제를 해결하기 위하여 왕관의 무게를 공기 중과 물속에서 측정하였다. 이때 공기 중에서는 7.84 N이었고, 물속에서는 6.84 N이었다고 하자. 아르키메데스는 왕에게 어떻게 대답하였을까?

 

gpt-4o-mini의 답변

아르키메데스는 왕관의 부피와 밀도를 이용하여 왕관이 순금인지 판별할 수 있는 방법을 사용할 것입니다. 아르키메데스의 원리와 관련된 내용으로, 물속에서 물체의 격리된 저항력을 측정하여 물체의 부피와 밀도를 알아낼 수 있습니다.

1. **먼저, 왕관의 부피를 구합니다.** 
   부피는 물속에서의 무게 감소량을 이용하여 구할 수 있습니다. 물속에서의 무게는 6.84 N이고, 공기 중의 무게는 7.84 N입니다. 두 값의 차이는 왕관이 물속에 잠겼을 때의 부력을 나타냅니다.

   \[
   \text{부력} = \text{공기 중 무게} - \text{물속 무게} = 7.84 \, \text{N} - 6.84 \, \text{N} = 1.00 \, \text{N}
   \]

2. **부력과 관련된 물체의 부피를 구합니다.**
   부력(B)은 물체의 부피(V)와 물의 밀도(ρ)와 중력가속도(g)를 통해 구해집니다. 물의 밀도가 약 1000 kg/m³ (또는 9.81 N/kg의 중력가속도 하에서 9.81 N/m³)로 가정할 수 있습니다. 부력 공식은 다음과 같습니다.

   \[
   B = V \cdot \rho \cdot g
   \]

   여기서 \( B = 1.00 \, \text{N} \), \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \), \( g = 9.81 \, \text{N/kg} \) 이므로,

   \[
   1.00 \, \text{N} = V \cdot 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.81 \, \text{N/kg}
   \]

   \[
   V = \frac{1.00 \, \text{N}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.81 \, \text{N/kg}} \approx 0.0001019 \, \text{m}^3
   \]

3. **왕관의 밀도를 계산합니다.**
   공기 중의 무게와 부피를 이용하여 밀도를 구합니다. 왕관의 질량(m)은 무게(W)와 중력을 통해 구할 수 있습니다.

   \[
   m = \frac{W}{g} = \frac{7.84 \, \text{N}}{9.81 \, \text{N/kg}} \approx 0.798 \, \text{kg}
   \]

   밀도(ρ)는 질량(m)과 부피(V)로 계산됩니다.

   \[
   \rho = \frac{m}{V} = \frac{0.798 \, \text{kg}}{0.0001019 \, \text{m}^3} \approx 7835.7 \, \text{kg/m}^3
   \]

4. **결론 도출:**
   순금의 밀도는 약 19300 kg/m³입니다. 아르키메데스는 왕관의 밀도가 7835.7 kg/m³인 것을 확인한 후, 이 값이 순금보다 낮으므로 왕관이 순금이 아님을 왕에게 보고할 것입니다. 즉, 왕관은 순금이 아니라고 대답했을 것입니다.

 

gpt-4o의 답변

아르키메데스가 왕관의 순금을 판별하기 위해 사용한 방법은 부력을 이용하는 것입니다. 부력은 물속에서 물체가 받는 부양력으로, 물체의 부피에 해당하는 물의 무게와 같습니다.

1. **공기 중에서의 무게**: \( W_{\text{air}} = 7.84 \, \text{N} \)
2. **물속에서의 무게**: \( W_{\text{water}} = 6.84 \, \text{N} \)

부력은 공기 중 무게에서 물속의 무게를 뺀 값입니다.
\[
F_{\text{buoyancy}} = W_{\text{air}} - W_{\text{water}} = 7.84 \, \text{N} - 6.84 \, \text{N} = 1.00 \, \text{N}
\]

부력은 물체의 부피를 물의 밀도와 중력가속도로 곱한 값과 같으므로, 부피 \( V \)에 관한 식을 작성할 수 있습니다:
\[
F_{\text{buoyancy}} = \rho_{\text{water}} \cdot V \cdot g
\]
여기서 \(\rho_{\text{water}}\)는 물의 밀도 (\(1000 \, \text{kg/m}^3\))이고, \(g\)는 중력가속도 (\(9.8 \, \text{m/s}^2\))입니다.

\[
1.00 \, \text{N} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \times V \times 9.8 \, \text{m/s}^2
\]

\[
V = \frac{1.00 \, \text{N}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.8 \, \text{m/s}^2} = \frac{1.00}{9800} \, \text{m}^3 = 1.02 \times 10^{-4} \, \text{m}^3
\]

왕관의 질량 \(m\)는 공기 중 무게를 사용하여 계산합니다:
\[
m = \frac{W_{\text{air}}}{g} = \frac{7.84 \, \text{N}}{9.8 \, \text{m/s}^2} = 0.8 \, \text{kg}
\]

왕관의 밀도를 계산합니다:
\[
\rho_{\text{crown}} = \frac{m}{V} = \frac{0.8 \, \text{kg}}{1.02 \times 10^{-4} \, \text{m}^3} \approx 7843 \, \text{kg/m}^3
\]

순금의 밀도는 약 \(19300 \, \text{kg/m}^3\)입니다. 계산 결과, 왕관의 밀도 \(7843 \, \text{kg/m}^3\)는 순금의 밀도와 크게 차이납니다. 따라서 아르키메데스는 왕에게 왕관이 순금이 아니라고 대답했을 것입니다.

 

o1-mini

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사용자 지침:

다음 물리학 문제의 풀이 과정을 알려주세요.

왕으로부터 왕관이 순금인지 판별해 달라는 요청을 받은 아르키메데스는 이 문제를 해결하기 위하여 왕관의 무게를 공기 중과 물속에서 측정하였다. 이때 공기 중에서는 7.84 N이었고, 물속에서는 6.84 N이었다고 하자. 아르키메데스는 왕에게 어떻게 대답하였을까?

 

o1-mini의 답변

아르키메데스가 왕의 순금 왕관을 판별하기 위해 사용한 방법은 부력의 원리를 이용한 실험입니다. 아래는 문제의 풀이 과정입니다.

### **주어진 정보:**
- **공기 중에서의 무게 (W₁):** 7.84 N
- **물속에서의 무게 (W₂):** 6.84 N
- **물의 밀도 (ρ_물):** 1000 kg/m³
- **중력 가속도 (g):** 9.8 m/s²

### **1. 부력(F_b) 계산:**
부력은 물속에서의 무게 감소량으로 계산할 수 있습니다.
\[ F_b = W₁ - W₂ = 7.84\,\text{N} - 6.84\,\text{N} = 1\,\text{N} \]

### **2. 왕관의 부피(V) 계산:**
부력은 왕관이 물에 의해 밀려난 물의 무게와 같습니다.
\[ F_b = \rho_물 \times V \times g \]
이를 통해 부피 V를 구하면,
\[ V = \frac{F_b}{\rho_물 \times g} = \frac{1\,\text{N}}{1000\,\text{kg/m}³ \times 9.8\,\text{m/s}²} \approx 0.000102\,\text{m}³ \]

### **3. 왕관의 질량(m) 계산:**
공기 중에서의 무게를 이용하여 질량을 구합니다.
\[ W₁ = m \times g \]
\[ m = \frac{W₁}{g} = \frac{7.84\,\text{N}}{9.8\,\text{m/s}²} = 0.8\,\text{kg} \]

### **4. 왕관의 밀도(ρ_왕관) 계산:**
밀도는 질량을 부피로 나눈 값입니다.
\[ \rho_왕관 = \frac{m}{V} = \frac{0.8\,\text{kg}}{0.000102\,\text{m}³} \approx 7843\,\text{kg/m}³ \]

### **5. 순금과의 비교:**
순금의 밀도는 약 **19,320 kg/m³**입니다. 계산된 왕관의 밀도 **7843 kg/m³**는 순금의 밀도보다 훨씬 낮습니다.

### **결론:**
왕관의 밀도가 순금의 밀도보다 낮기 때문에 **왕관은 순금이 아니다**라는 것을 알 수 있습니다. 아르키메데스는 이 결과를 바탕으로 왕에게 왕관이 순금이 아님을 보고했을 것입니다.

 

평가

세 모델 모두 왕관이 순금이 아님을 맞혔다. 왕관의 밀도를 조금씩 다르게 계산한 것은 중력가속도의 정확도가 달라서인 것 같다.

o1-mini의 강점이 돋보이게 하려면 좀 더 어려운 문제를 풀라고 해야겠다. 그런데 모델 성능보다 중요한 문제가 있다. AI가 생성한 풀이 과정과 답이 옳은지를 내가 판단할 수 있을까?