[과제] 저궤도 위성에 작용하는 중력 가속도

(작성일: 2023. 7. 20.)

 

지표면 근처에서 중력가속도는 약 9.8m/s로 일정하다(강성훈). 정확하게는, 지구 중심으로부터 멀어질수록 중력 가속도는 줄어들지만 일상적인 계산에서는 편의상 일정하다고 간주한다. 그런데 인공위성과 같이 높은 고도에 있는 물체에 작용하는 중력가속도는 얼마나 될까?

저궤도 위성이란

위성궤도는 고도에 따라 저궤도(LEO: Low Earth Orbit), 중궤도(MEO), 정지궤도(GEO)로 구분하며 아 중 저궤도란 300~1500km 위성 고도의 인공위성 궤도를 의미한다(김지선). 이 궤도에는 지구 관측 위성, 기상 위성, 통신 위성, 국제 우주 정거장(International Space Station, ISS) 등이 포함된다. 저궤도 위성은 지구를 90분에서 120분 정도의 짧은 시간에 한 바퀴 돌며, 빠른 시간에 전 세계를 관측할 수 있는 장점이 있다.

지표면에서의 중력가속도

저궤도 위성에 작용하는 중력가속도를 구하기 전에, 지표면에서의 중력가속도를 직접 계산해 보고 알려진 값과 비교함으로써 계산 과정의 타당성을 검증하고자 한다.

만유인력의 법칙에 의하면 두 물체 $m_1$, $m_2$ 사이에 발생하는 인력의 크기는 다음과 같다.
$$F=G \frac{m_1 m_2}{r^2} =m_1 (\frac{Gm_2}{r^2})$$
뉴턴의 제2 운동법칙에 따르면 물체에 작용한 힘은 물체의 질량과 가속도의 곱, 즉
$$F=ma$$
이다. 위의 두 식을 이용해 지표면의 중력가속도를 다음과 같이 구할 수 있다.
$$a=\frac{Gm_2}{r^2}$$

중력 상수 $G=6.67×10^{-11} \frac{m^3}{s^2 kg}$
지구의 질량 $m_2=5.97×10^{24} kg $
거리 $r=6.37×10^6 m$ (지구의 평균 반지름)

와 같다고 할 때 지표면에서의 중력가속도는 다음과 같다.

$$\frac{Gm_2}{r^2} =\frac{(6.67×10^{-11} )(5.97×10^{24})}{(6.37×10^4)^2} \frac{m^3  kg}{s^2 kg m^2}$$

파이썬으로 직접 계산한 결과는 다음과 같다.

>>> G = 6.67 * 10**(-11)
>>> m2 = 5.97 * 10**24
>>> r = 6.37 * 10**6
>>> G * m2 / (r ** 2)
9.813440652193734

이로써 계산에 의해 구한 값이 알려진 중력가속도 값($9.8 m/s^2$)과 일치함을 확인했다.

저궤도 위성에 작용하는 중력가속도

같은 방법으로 지표면으로부터 1000km 상공에 위치한 저궤도 위성에 작용하는 중력가속도를 계산해 보면, 중력상수와 지구의 질량은 동일하되,
거리 $r=(지구 반지름) + (위성 고도) = (6.37×10^6  + 1×10^6)m$이다.

따라서 
>>> r = 7.37 * 10**6
>>> G * m2 / (r ** 2)
7.33103325116124

이와 같이 인공위성에 작용하는 중력가속도의 크기는 지표면에서보다 줄어든다는 것을 확인했다.

결론

이러한 발견은 인공위성이 안정적인 궤도에 안착하도록 하는 데 중요하며, 우주탐사에 필요한 연료량을 계산하고 여정을 계획하는 데에도 중요할 것이다.

참고 문헌

강성훈, 서울사이버대학교 기계공학개론 5주차 강의
김지선, 지구저궤도(LEO) 활용동향 및 정책과제, ⟪SPREC Insight⟫ vol 9
중력가속도 계산, https://blog.naver.com/cbr399/90030791210