유체역학에 관한 오해 바로잡기

베르누이 법칙에 기반한 양력(揚力, lift) 이론의 오류는 오랜 기간에 걸쳐 점진적으로 밝혀졌다.

• 1900년대 초반: 독일의 물리학자 루트비히 프란틀(Ludwig Prandtl)은 경계층 이론을 발표하고, 베르누이 법칙만으로는 양력을 완전히 설명할 수 없다는 점을 지적했다.
• 1920년대: 쿠타-주코프스키 정리가 발표되면서, 양력의 발생을 순환(circulation)으로 설명할 수 있게 되었다. 이는 베르누이 법칙에 기반한 이론의 대안으로 부상했다.
• 1930년대: 미국의 공학자 시어도어 폰 카르만(Theodore von Kármán)은 베르누이 법칙에 기반한 양력 이론의 한계를 지적하고, 점성 유동과 와류 이론을 통해 양력을 설명하려 했다.
• 1980년대 이후: NASA를 비롯한 여러 교육 기관에서 베르누이 법칙에 기반한 양력 이론이 불완전하다는 점을 널리 알리기 시작했다.

 

따라서 베르누이 법칙에 기반한 양력 이론의 오류는 20세기 초반부터 인식되기 시작했으며, 이후 꾸준히 연구되어 오늘날에는 널리 알려진 사실로 자리잡았다고 볼 수 있다.

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민태기 소장의 설명

 

유튜브 '언더스탠딩' 채널에 유체역학을 주제로 한 영상이 있어 녹취록을 생성한 뒤 클로드로 정리했다.

 

1. 비행기 양력의 원리:
- 기존 이론(잘못된 이론): 
  - 비행기 날개의 단면은 위쪽이 둥글고 아래쪽은 평평함 
  - 위쪽 공기는 더 빨리 흐르고, 베르누이 법칙에 따라 압력이 낮아짐("Longer Path" 또는 "Equal Transit Time" 이론)

  - 아래쪽은 느리게 흐르므로 압력이 높음
  - 압력 차이로 인해 양력 발생하여 비행기가 뜸
  - 이는 널리 알려졌지만, 사실은 잘못된 이론(아래에 따로 정리한 NASA의 Incorrect Lift Theory 참고)

- 새로운 이론(쿠타-주코브스키 이론):
  - 비행기 날개 단면을 복소평면에서 변환하면, 축구공의 마그누스 효과와 같은 회전에 의한 힘이 작용함
  - 비행기 날개 단면은 공기 중에서 회전하는 실린더와 같음
  - 이는 축구공의 회전과 본질적으로 동일한 현상(아래 Conformal Mapping 참고)
  - 이런 회전에 의해 양력이 발생함
  - 수학적으로 증명됨 (쿠타-주코브스키 이론)

2. 비행기 날개 뒤의 공기 흐름:
- 쿠타-주코브스키 이론에 따르면, 비행기 날개 뒤에서는 공기가 아래쪽으로 강하게 흐를 것으로 예측 가능
- 실제 관찰 결과도 이를 뒷받침함
- 하지만 이는 양력뿐 아니라 항력(다운워시)도 유발함

3. 비행기 날개의 최적 설계:
- 양력을 극대화하면서 동시에 항력을 최소화하는 것이 최적의 날개 설계
- 양력과 항력의 균형을 잘 고려해야 함
- 다양한 날개 형상이 가능 (에어버스 A380, 보잉 747 등)
- 임무에 따라 최적 형상이 달라짐 (여객기, 전투기, 수송기 등)

4. 아인슈타인의 실수:
- 아인슈타인도 비행기 날개에 대해 잘못된 이론을 제시한 적이 있음
- 베르누이 법칙과 유사한 방식으로 양력을 설명하려 했음
- 날개 위쪽이 더 좁아져서 빠르게 흐르고 압력이 낮아진다는 설명
- 하지만 나중에 이를 인정하고 수정함
- "무모한 일이었다. 무책임하고 무모했다"라고 고백

5. 윙렛의 역할:
- 비행기 날개 끝에 윙렛을 다는 것은 항력을 줄이기 위한 방법
- 윙렛은 날개 끝에서 발생하는 와류를 감소시킴
- 이로 인해 유도 항력(induced drag)이 줄어듦

6. 로터를 단 배의 연료 효율:
- 배에 로터를 달아 회전시키면 연료를 30%가량 절감 가능
- 로터의 회전을 이용해 추진력을 얻기 때문
- 돛보다 효율적
- 로터의 회전 방향과 속도를 조절하여 다양한 풍향과 풍속에 대응 가능
- 과거 독일에서 시도되었으나 당시에는 연료가 싸서 주목받지 못함
- 최근 들어 환경 문제로 인해 다시 주목받고 있음

7. 강물에서의 유속 분포:
- 일반적으로 강물에서는 안쪽이 바깥쪽보다 빠르게 흐름
- 기존에는 이와 반대로 바깥쪽이 빠르다고 잘못 알려져 있었음
- 아인슈타인이 이에 대한 올바른 설명을 제시함
  - 강물이 휘어질 때, 원심력에 의해 바깥쪽의 압력이 높아짐
  - 이로 인해 바깥쪽의 유속은 느려지고, 안쪽의 유속은 상대적으로 빨라짐
  - 또한 2차 유동(secondary flow)에 의해 바깥쪽 하층의 물이 안쪽 상층으로 이동하면서 안쪽 유속이 더욱 빨라짐
- 이는 하천 지형학에서 중요한 개념
- 아인슈타인의 아들이 이를 책으로 엮어 출판함

8. 유체역학의 발전 과정:
- 19세기 후반까지는 비행기가 뜨는 원리를 설명하지 못함
  - 라일리의 불연속 이론, 마그누스 효과 등 여러 이론이 제시되었으나 한계가 있었음
- 20세기 초 쿠타-주코브스키 이론이 정립되면서 비로소 설명 가능해짐
  - 프란틀, 콜모고로프 등 유체역학자들의 공헌
- 이후에도 점성 유동, 난류 등 다양한 분야에서 발전이 이어짐
- 현재는 나비어-스토크스 방정식을 직접 풀 수 있을 정도로 발전함
  - 그러나 여전히 완전히 풀지는 못하는 상황

9. 결론:
- 유체역학은 과거부터 현재까지 끊임없이 발전해 온 학문
- 과거의 정설로 여겨졌던 이론들이 새로운 이론에 의해 반박되기도 함
- 실험과 이론, 그리고 계산의 발전이 함께 이루어져야 함
- 비행기 양력의 원리와 같이 우리 주변의 유체 현상을 이해하는 것은 매우 중요하고 흥미로운 일
- 앞으로도 유체역학의 발전이 기대됨

https://www.youtube.com/watch?v=c99Es5MjSs8

 

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NASA Glenn Research Center 자료

잘못된 양력 이론 세 가지

1. "Longer Path" 또는 "Equal Transit" 이론:
   - 이 이론은 비행기 날개 위쪽을 지나는 공기는 아래쪽보다 더 긴 거리를 이동하므로, 더 빠른 속도로 흐른다고 주장
   - 그리고 위쪽과 아래쪽의 공기가 동시에 날개의 뒷전에 도달해야 한다고 가정
   - 하지만 이는 잘못된 이론으로, 실제로는 위쪽 공기가 아래쪽 공기보다 훨씬 빠르게 흐르며, 뒷전에서 동시에 만나지 않음

2. "Skipping Stone" 이론:
   - 이 이론은 비행기 날개를 물 위에 스쳐 지나가는 돌멩이에 비유
   - 마치 돌멩이가 물 위를 빠르게 스쳐 지나가며 위로 튀어오르는 것처럼, 비행기 날개도 공기를 아래로 밀어내며 위로 든다는 주장
   - 그러나 이는 비행기 날개의 작동 원리를 잘못 설명한 것으로, 실제로는 쿠타-주코브스키 이론과 같은 순환에 의한 양력 발생이 핵심

3. "Venturi" 이론:
   - 이 이론은 비행기 날개 위쪽의 공기 흐름이 좁아지는 것을 베르누이 법칙에 적용하여 설명하려 함
   - 베르누이 법칙에 따르면, 유체가 좁은 관을 지날 때 속도가 빨라지고 압력이 낮아짐
   - 이를 비행기 날개에 적용하여, 위쪽 공기의 속도가 빨라지고 압력이 낮아져 양력이 발생한다고 주장
   - 하지만 이는 잘못된 적용으로, 실제 비행기 날개에서는 베르누이 법칙만으로 양력을 설명할 수 없음

등각사상(Conformal Mapping)

Conformal Mapping은 복소평면에서의 변환을 이용하여 한 유동 문제를 다른 유동 문제로 변환하는 기법이다. 이를 통해 원래 문제의 해를 새로운 문제의 해로 변환할 수 있다.

러시아 수학자 주코프스키(Joukowski)는 원형 실린더 주위의 유동을 익형 주위의 유동으로 변환하는 사상 함수를 개발했다.

$$A = z + \frac{1}{z}$$

여기서 z는 실린더 평면에서의 복소수 좌표이고, A는 익형 평면에서의 복소수 좌표이다.

이 사상 함수는 실린더 주위의 전체 유동장을 익형 주위의 유동장으로 변환한다. 실린더 주위의 속도와 압력을 알면, 사상 함수를 통해 익형 주위의 속도와 압력을 구할 수 있다. 익형 주위의 압력을 알면 양력을 계산할 수 있다.

주코프스키 변환에는 두 개의 극점(pole)이 있는데, 이 점에서는 변환이 정의되지 않는다. 이 극점들의 위치에 따라 익형의 형상이 결정된다.

또한 쿠타 조건(Kutta condition)을 적용하면, 익형은 후류 박리점이 날개 뒷전에 위치하도록 충분한 순환(circulation)을 생성한다.

주코프스키 변환과 쿠타 조건은 FoilSim 컴퓨터 프로그램에서 사용되고 있다.

이처럼 Conformal Mapping은 복잡한 형상 주위의 유동을 보다 간단한 형상 주위의 유동으로 변환함으로써, 유동 문제를 효과적으로 해석하는 데 사용되는 중요한 기법이다.

https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/map.html

Conformal Mapping

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한국어 위키백과의 잘못된 설명

한국어 위키백과의 양력 항목(2024년 5월 2일 수정)에도 잘못된 설명이 올라 있다.

1. 베르누이 법칙을 비행기 날개에 적용한 설명은 잘못되었다. 베르누이 법칙만으로는 날개의 양력을 설명할 수 없다. 

2. 날개 윗면이 아랫면보다 길기 때문에 윗면의 유속이 더 빨라진다는 "Longer Path" 또는 "Equal Transit" 이론도 잘못되었다. 실제로는 윗면의 유속이 아랫면보다 훨씬 빠르며, 윗면과 아랫면의 공기가 동시에 날개 뒷전에 도달하지 않는다.

이 글은 양력의 발생을 뉴턴의 운동 법칙과 베르누이 방정식을 이용해 설명하고 있지만, 이는 잘못된 이론에 해당한다.

 

영문 위키백과의 Lift (force) 항목의 설명은 대체로 올바르다.

 

해당 영문 위키피디아 글은 전반적으로 양력에 대해 잘 설명하고 있습니다. 특히 한국어 위키피디아와 비교했을 때 다음과 같은 장점이 있습니다.

1. 베르누이 법칙만으로 양력을 설명하려는 시도가 불완전하다는 점을 명확히 지적하고 있습니다. "A more comprehensive physical explanation" 섹션에서는 양력 발생을 위해서는 압력 차이와 함께 흐름의 방향 변화가 필요하다고 설명합니다.

2. 쿠타-주코프스키 정리(Kutta–Joukowski theorem)와 순환(Circulation)의 개념을 도입하여 양력 발생을 설명하고 있습니다. 이는 현대 유체역학의 관점과 잘 부합합니다.

3. 비행기 날개 주위의 압력 분포와 유선(Streamline)을 시각화한 그림을 제시하여, 양력 발생 메커니즘을 직관적으로 이해할 수 있게 돕고 있습니다.

4. 동일 시간 통과 이론(Equal transit-time theory)과 벤투리 이론(Venturi theory) 등 잘못된 이론들을 명시적으로 지적하고, 그 한계를 설명하고 있습니다.

5. 날개 끝 와류(Wingtip vortices)와 유도 항력(Induced drag) 등 3차원 효과에 대해서도 언급하고 있습니다. 이는 실제 비행기 날개의 양력 발생을 이해하는 데 중요한 개념들입니다.

6. 점성(Viscosity)의 효과와 경계층(Boundary layer) 개념을 설명하고, 이것이 실제 양력 발생에 미치는 영향을 다루고 있습니다.

따라서 이 영문 위키피디아 글은 한국어 버전에 비해 양력에 대한 더 정확하고 포괄적인 설명을 제공하고 있다고 볼 수 있습니다. 현대 유체역학의 이론들을 적절히 반영하고 있으며, 일부 잘못된 이론들의 한계도 잘 지적하고 있습니다.

다만 이 글도 완벽하다고 볼 수는 없습니다. 일부 수식이나 개념들은 독자에게 여전히 어려울 수 있고, 몇몇 설명들은 더 명확히 다듬을 여지가 있어 보입니다. 하지만 전체적으로는 양력에 대한 이해를 높이는 데 큰 도움이 되는 글이라고 평가할 수 있겠습니다.

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보충 설명

언더스탠딩 영상 및 NASA 자료를 인용한 설명에서 자세히 다루지 않은 부분을 클로드에 물어보고 정리했다.

쿠타-주코프스키 정리와 마그누스 효과의 차이

쿠타-주코프스키 정리는 익형 주위의 순환(circulation)과 양력의 관계를 설명하는 이론이다. 이 이론에 따르면, 익형 주위의 순환은 양력을 발생시키는 근본적인 원인이 된다.
반면 마그누스 효과는 회전하는 물체가 그 회전 방향에 수직인 방향으로 힘을 받는 현상을 말한다. 이는 주로 공이나 실린더 같은 물체에서 관찰된다.
두 현상 모두 회전이나 순환과 관련이 있지만, 적용되는 상황과 메커니즘에는 차이가 있다. 쿠타-주코프스키 정리는 익형의 양력 발생을 설명하는 데 사용되는 반면, 마그누스 효과는 회전하는 물체에 작용하는 힘을 설명하는 데 사용된다.

받음각, 양력, 항력의 관계

받음각은 익형의 시위선과 유동 방향이 이루는 각도를 말한다.

받음각이 작을 때는 받음각 증가에 따라 양력이 비교적 빠르게 증가하지만, 받음각이 커질수록 양력 증가율은 점차 감소하게 된다. 그리고 임계 받음각(critical angle of attack) 이후에는 양력이 급격히 감소하고 항력은 급격히 증가하는 실속(stall) 현상이 나타난다.

실속이 발생하면 비행기를 제어하기 어려워지므로 실속을 피하는 것이 중요하다.
받음각과 양력, 항력의 관계는 비행역학의 핵심 개념 중 하나다.

프란틀의 유도 항력 이론

프란틀(Prandtl)의 유도항력(induced drag) 이론은 항공기 날개의 양력 발생과 관련된 항력을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.
항공기 날개는 양력을 발생시키기 위해 날개 끝에서 와류(vortex)를 형성한다. 이 와류는 날개의 압력 분포를 변화시켜 날개 뒤쪽에서 아래로 향하는 하강 기류(downwash)를 만든다. 이 하강 기류는 날개에 작용하는 양력 벡터를 뒤쪽으로 기울이게 하는데, 이로 인해 양력 벡터의 수평 성분이 발생하게 된다. 이 수평 성분이 바로 유도항력이다.
프란틀은 이러한 유도항력이 날개의 형상과 종횡비(aspect ratio)에 따라 달라진다는 것을 발견했다. 종횡비가 큰 날개일수록 날개 끝 와류의 영향이 줄어들어 유도항력이 감소하게 된다. 반면, 종횡비가 작은 날개는 날개 끝 와류의 영향이 커져 유도항력이 증가하게 된다.
또한 프란틀은 타원형 양력 분포(elliptical lift distribution)가 주어진 양력에 대해 최소의 유도항력을 발생시킨다는 것을 보였다. 이는 항공기 날개 설계에 중요한 통찰을 제공했다.
프란틀의 유도항력 이론은 항공기 날개의 설계와 성능 분석에 널리 사용되고 있다. 이 이론은 양력과 항력의 관계를 이해하는 데 중요할 뿐만 아니라, 효율적인 날개 설계를 위한 기본 원리를 제공한다. 예를 들어, 날개 끝에 윙렛(winglet)을 설치하여 날개 끝 와류의 영향을 줄이고 유도항력을 감소시키는 것은 프란틀의 이론에 기반한 것이다.

점성(粘性, viscosity)이 양력에 미치는 영향

점성은 양력 발생에 직접적인 원인이 되지는 않지만, 양력의 크기에 영향을 줄 수 있다. 점성의 효과는 주로 항력 증가와 관련이 있지만, 간접적으로 양력에도 영향을 미친다.
먼저, 점성은 항력 증가의 주된 원인이다. 유체 내부의 마찰력인 점성으로 인해 물체 표면에는 전단응력이 작용하게 되고, 이는 물체의 운동을 방해하는 힘, 즉 항력으로 나타난다. 레이놀즈 수가 낮은 유동에서는 점성에 의한 항력(점성 항력)이 지배적이다.
한편, 점성으로 인해 익형 표면에는 경계층이 발달하게 되는데, 이는 익형의 유효 형상을 변화시킨다. 경계층이 두꺼워지면 익형은 마치 더 둥근 형상처럼 작동하게 되어 양력이 감소할 수 있다.
또한 높은 받음각에서는 점성에 의해 경계층 박리가 발생할 수 있다. 경계층 박리가 발생하면 익형 뒷전 근처에서 유동이 익형 표면을 따라 흐르지 못하고 떨어져 나가게 된다.
유체역학에서는 점성의 효과를 무시한 포텐셜 유동(potential flow)과 점성을 고려한 실제 유동을 구분한다. 포텐셜 유동에서는 순환에 의해 양력이 발생하지만, 항력은 존재하지 않는다. 반면 실제 유동에서는 점성에 의해 항력이 발생하고, 양력도 포텐셜 유동과는 다른 특성을 보인다.