1년 전에 배운 문제를 다시 보니 전혀 풀 수 없어서 챗GPT에 물어봤다.
나:
적분을 구하시오.
\[ \int x e^x dx \]
챗GPT:
To solve the integral
\[ \int x e^x dx \]
we can use the method of integration by parts. This technique is useful when the integrand can be decomposed into a product of functions, where one function is easy to differentiate and the other is easy to integrate. Let's denote:
\[ u = x, \quad dv = e^x dx \]
Differentiating \( u \) and integrating \( dv \):
\[ du = dx, \quad v = \int e^x dx = e^x \]
Now, according to the formula for integration by parts:
\[ \int u dv = uv - \int v du \]
Applying this formula:
\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx \]
The remaining integral \( \int e^x dx \) is straightforward:
\[ \int e^x dx = e^x \]
Thus, the full solution is:
\[ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C \]
where \( C \) is the constant of integration.
나:
이 성질을 이용해 풀 수 있나?
\[ \int f'(x) g(x) dx = f(x) g(x) - \int f(x) g'(x) dx \]
챗GPT:
The provided property is an alternative form of integration by parts. It states:
\[ \int f'(x) g(x) dx = f(x) g(x) - \int f(x) g'(x) dx \]
This can indeed be used to solve the integral:
\[ \int x e^x dx \]
However, let's rewrite this integral in a form compatible with this identity. Consider \( f(x) = x \) and \( g(x) = e^x \) so that \( f'(x) = 1 \) and \( g'(x) = e^x \):
Applying the identity:
\[ \int f'(x) g(x) dx = f(x) g(x) - \int f(x) g'(x) dx \]
Gives:
\[ \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - \int x e^x dx \]
Rearranging this equation:
\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx \]
Simplifying the remaining integral:
\[ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C \]
So, the property provides another way to solve the integral, arriving at the same result:
\[ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C \]
where \( C \) is the constant of integration.
나:
"Simplifying the remaining integral:" 과정을 한국어로 자세히 설명해줘
챗GPT:
알겠습니다. 먼저 다음의 정리로부터:
\[ \int f'(x) g(x) dx = f(x) g(x) - \int f(x) g'(x) dx \]
해당 정리를 사용해 다음 적분을 풀겠습니다:
\[ \int x e^x dx \]
먼저 \( f(x) = x \)와 \( g(x) = e^x \)를 선택합니다. 그러면 \( f'(x) = 1 \)이고 \( g'(x) = e^x \)이므로, 정리를 적용하면:
\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx \]
이 됩니다. 이제 남은 적분 \( \int e^x dx \)를 처리해야 합니다. 이는 지수 함수의 간단한 적분으로 다음과 같이 해석할 수 있습니다:
\[ \int e^x dx = e^x \]
그러므로 전체 표현은 다음과 같이 최종적으로 정리됩니다:
\[ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C \]
여기서 \( C \)는 적분 상수입니다. 이처럼 남은 적분을 처리하는 것이 과정의 마지막 단계로, 지수 함수 \( e^x \)의 적분이 단순히 \( e^x \)로 이어지므로 이를 활용해 최종 해를 얻을 수 있습니다.
나:
"지수 함수의 간단한 적분으로 다음과 같이 해석할 수 있습니다:"라고 말한 식에도 적분상수가 들어가야 하지 않아?
챗GPT:
맞습니다. 지적해주셔서 감사합니다. 일반적으로, 적분 결과에는 적분 상수 \( C \)를 포함해야 합니다. 따라서 남은 적분을 처리할 때의 과정은 다음과 같이 정리됩니다:
\[ \int e^x dx = e^x + C_1 \]
여기서 \( C_1 \)는 적분 상수입니다. 따라서 전체 식은 다음과 같이 됩니다:
\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - (e^x + C_1) = x e^x - e^x - C_1 + C \]
여기서 \( C \)는 최종 적분 상수입니다.
마지막으로 정리하면:
\[ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C \]
이렇게 적분 상수까지 포함하여 전체 과정을 마무리할 수 있습니다.
나:
C_1이 뒤에서 사라지고 C만 남는 이유를 자세히 설명해줘
챗GPT:
적분 상수 \( C_1 \)와 최종 적분 상수 \( C \)에 대한 과정을 조금 더 자세히 설명드리겠습니다.
다음 식을 살펴보겠습니다:
\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx \]
그리고 남은 적분 \( \int e^x dx \)를 계산하면:
\[ \int e^x dx = e^x + C_1 \]
여기서 \( C_1 \)는 적분 과정에서 나오는 적분 상수입니다. 따라서 전체 식은:
\[ \int x e^x dx = x e^x - (e^x + C_1) = x e^x - e^x - C_1 \]
이렇게 됩니다.
이제 적분 상수에 대해 생각해봅시다. 적분 상수 \( C_1 \)는 특정 적분 과정에서 나오는 상수이지만, 다른 적분 과정에서도 상수들이 나올 수 있습니다. 여러 상수가 나오더라도, 최종 결과에서는 이를 하나로 묶어서 나타낼 수 있습니다. 일반적으로:
\[ -C_1 + C_2 = -C_1 + k \]
여기서 \( k \)는 새로 나타나는 상수이며, 이는 단순히 최종 상수 \( C \)로 통합할 수 있습니다:
\[ \int x e^x dx = x e^x - e^x - C_1 + C_2 = x e^x - e^x + C \]
따라서 여러 상수가 나오더라도, 최종적으로 하나의 상수로 통합되어 \( C \)로 표현할 수 있습니다. 이는 미분방정식이나 적분의 일반 해에서 흔히 볼 수 있는 방식이며, 최종 적분 결과에서 나오는 상수를 하나의 일반 상수로 표현하는 것이 관행적입니다.
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